Автор свыше 350 научных трудов, среди которых 120 работ в журналах ВАК и 20 монографий: «Оперативная лапароскопия», 1995; «Клиническая трансвагинальная эхография» (4 издания — 1994; 1997; 1999; 2001); «3Д трансвагинальная эхография», 2005; «Внематочная беременность», 1999; 2001; «Клинические лекции по акушерству и гинекологии», 1996; 1999; 2001; 2010; «Гистерорезектоскопия», 1997; «Клиническая кольпоскопия», 2005; «Современные методы контрацепции», 1997; 1999; 2007; «Мини-инвазивная хирургия в гинекологии», 2001; «Генитальный эндометриоз», 1996; «Абдоминальная хирургия в гинекологии», 2005; «Беременность и роды после кесарева сечения», 2004; «Физиология и патология плода», 2004; «Генитальные инфекции», 2004; «Гестоз», 2007; «Влагалищная хирургия (Атлас)», 2008; «Доброкачественные заболевания матки», 2011; 2014; «Оперативная гистероскопия», 2015 и др.
Под руководством А. И. Давыдова защищены 2 докторские и 28 кандидатских диссертаций.
Заместитель главного редактора — выпускающий редактор журнала ВАК РФ «Вопросы гинекологии, акушерства и перинатологии».
Дважды лауреат премии правительства РФ — 2002 г. «за разработку и внедрение эндоскопических методов в акушерство и гинекологию», 2012 г. — «за разработку и внедрение высокотехнологичных методов исследования состояния матери и плода для обеспечения здоровья будущего поколения», Лауреат именной премии Груздева и Персианинова за цикл работ по акушерско-гинекологической хирургии, 2006 г., 2009 г., дважды Лауреат премии Московской медицинской академии за лучшую монографию.